자기 아핀 스케일링
계면 균열 전면 전파 중
Stephane Santucci, Knut Jørgen Måløy, 오슬로 대학교 물리학과, P. O. Box 1048 Blindern, N-0316 Oslo 3, 노르웨이.
Renaud Toussaint 및 Jean Schmittbuhl.Strasbourg Globe Physics Institute - UMR 7516,5, rue Rene Descartes, 67084 Strasbourg Cedex, France.
초록. 우리는 약한 균열을 통한 느린 균열 전면 전파에 대한 실험적 연구를 수행했습니다.
투명한 Plexiglas 블록의 평면. 약한 인터페이스를 따라 공간적 무작위 인성 변동은 균열 전면을 국부적으로 고정할 때 거친 균열 라인을 생성하고 균열 전면 라인의 간헐적인 동역학으로 이어집니다. 고속 및 고해상도 카메라를 사용하여 우리는 이 복잡한 역학의 특징을 포착할 수 있습니다.
대기 시간 변동을 측정하고 전파하는 동안 균열 전면을 따라 국부적인 버스트 역학 및 구조를 연구하기 위해 새로운 분석 절차가 제안됩니다. 먼저, 우리는 이전 결과[1]를 확인합니다: 매우 큰 크기와 속도 변동을 가진 국지적이고 불규칙한 눈사태에 의해 지배되는 파괴 전면 역학, 거칠기 지수ζ ≃ 0.6 및 동적 지수κ ≃ 1.2. 그런 다음 눈사태 구조에 특히 초점을 맞추면 시스템이 로컬 버스트 및 골절 전선 자체에 대해 동일한 거칠기 지수ζ를 사용하여 자기 아핀 스케일링을 나타냄을 보여줍니다.
Keywords: 계면 파괴, depinning transition, self-affinity, dynamic scaling.
1. 소개
Mandelbrot, Passoja 및 Paullay[2]의 선구적인 작업 이후로 이제 균열 표면이 자기 친화 물체라는 것이 잘 확립되었습니다. 균열 형태의 스케일링 특성은 서로 다른 재료에 대해 매우 강인한 것으로 밝혀진 거칠기 지수와 함께 자가 연관 장거리 상관 관계 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]를 통해 나타납니다. 광범위한 길이 척도. 그러나 이러한 자기 아핀 장거리 상관 관계로 이어지는 이질성에 의해 수행되는 물리적 역할은 잘 이해되지 않습니다.
최근 몇 년 동안 무질서한 매질에서의 전면 전파는 균열 전면[9], 자구 벽[10] 또는 습윤[11]과 같은 다양한 물리적 시스템에서 인터페이스의 역학을 설명하려는 어려운 문제가 되었습니다.
c© 2005Springer. 네덜란드에서 인쇄.
2 S. SANTUCCI 외.
실제로 이종 재료를 통한 균열 전면 전파를 설명하는 실험 데이터는 거의 없습니다. 본질적으로 직접 관찰하고 균열 전면 라인을 따르는 것이 어렵기 때문입니다. 실제로, 3d 이종 매체에서 성장하는 균열 전선은 면내 및 면외 거칠기가 각각 ζ‖ 및 ζ⊥ 다른 3차원 모양을 갖습니다. 따라서 계면 균열 전면 문제는 실험적으로 [12, 13] 이론적으로 [14] 모두에서 3-d 원래 문제를 단순화합니다. 균열 선단은 두 개의 탄성판을 통해 전달되는 응력에 의해 운동이 구동되는 평면에 기하학적으로 구속되어 있으므로 직접 시각화하고 파면 선을 따르는 것이 가능합니다. 지금까지 파단 최전선에 대한 대부분의 실험은 추정 거칠기 지수ζ = 0.55±0.03 [12]로 이어지는 파단 최전선 형태에 초점을 맞추었고, ζ = 0.63± 0.03[13]로 이어지는 더 긴 연구가 이어졌습니다. 최근 계면 균열 선단 전파가 조사되기 시작했습니다[1]. 이 연구는 골절 최전선 역학이 간헐적이라는 것을 보여주었습니다. 돌기의 디피닝은 국부적 불안정성을 유발하며 조도 지수 ζ = 0.6 및 비동적 지수 κ = 1.2를 갖는 Family-Vicsek 스케일링[15]의 용어로 설명될 수 있습니다. 이전의 수치 및 이론적 연구[8, 16, 17, 18]와 달리 응력 가중 당 콜레이션 문제[19]로 해석된 최근 수치 시뮬레이션은 실험 거칠기와 동적 지수에 대해 일관된 결과를 제공합니다.
이 작업에서 우리는 국부 동역학에 대한 조사를 더 진행했으며 이 연구는 Måløy와 Schmittbuhl[1]이 시작한 실험 작업의 연속으로 보입니다. 첫 번째 부분에서는 두 개의 투명한 PMMA(Poly-methylmethacrylate) 판의 어닐링 평면으로 전파되는 면내 균열 전면을 직접 관찰할 수 있는 실험 설정 및 샘플 준비를 상기할 것입니다[12]. 이제 매우 강력한 고속 및 고해상도 카메라(Photron Ultima)를 사용하여 복잡한 균열 전면 역학의 세부 사항을 실제로 캡처할 수 있다는 점을 강조하는 것이 중요합니다. 그런 다음 로컬 버스트 역학을 분석하기 위해 특히 지역 대기 시간 변동을 추출하기 위해 두 번째 섹션에서 새로운 분석 절차를 제안합니다. 이 분석과 빠른 비디오 녹화는 모두 이전의 관찰과 결과를 확인하여 균열 전면의 역학이 매우 큰 크기와 속도 변동을 가진 국부적이고 불규칙한 눈사태에 의해 구동됨을 보여줍니다. 이 백서에서 우리는 균열 전면의 스케일링에 집중하고자 합니다 선. 우리는 먼저 균열 거칠기의 발달이 Family-Vicsek 스케일링을 따른다는 것을 확인한 다음 로컬 눈사태의 구조를 자세히 조사하여 시스템이 전체 로컬 버스트 세트에 대해 동일한 거칠기 지수ζ로 자기 유사 스케일링을 나타내는 것을 보여줄 것입니다. 골절 최전선 자체. 역학과 특히 속도 및 대기 시간 변동에 관한 자세한 내용은 다른 곳에서 제공됩니다[20].
계면 균열 전면 전파 3
2. 실험 절차
2.1. 샘플 준비
두 개의 Plexiglas 플레이트(32×14×1cm 및 34×12×0.4cm)는 약한 인터페이스를 가진 단일 블록을 만들기 위해 정상 압력의 여러 막대에서 30분 동안 205ºC에서 함께 어닐링됩니다. 어닐링 절차 전에 두 판 모두 50µm 강철 입자 또는 100µm 유리 비드를 사용하여 한쪽 면을 샌드 블라스팅합니다. 샌드 블라스팅은 어닐링 프로세스 중에 국부적인 인성 변동을 유도하는 임의의 지형을 도입합니다. 샌드 블라스팅 공정에서 발생하는 국부적 이질성의 특성을 추정하기 위해 백색광 간섭법(SINTEF 실험실에서 수행)을 사용하여 샌드 블라스팅된 Plexiglas 표면의 프로파일을 측정했습니다. 우리는 이러한 국소적 불규칙성이 18±2µm로 추정되는 상위 컷오프 크기를 가지고 있음을 발견했습니다.
엑스 (mm)
y(m
중)
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.1
0.2
0.3
0.4
그림 1. 샌드 블라스팅된 PMMA 표면의 2차원 지도: 흰색 패치는 이 프로파일 높이의 표준 편차에 해당하는 0.85µm보다 높은 요철에 해당합니다.
절차의 두 가지 핵심 포인트는 파단 전면을 직접 관찰할 수 있는 재료의 투명성과 균열 전면을 고정할 때 거친 균열 선을 생성하는 인터페이스를 따라 도입된 무작위 인성입니다.
2.2. 기계적 및 광학적 설정
상부 Plexiglas 판이 단단한 알루미늄 프레임에 고정되어 있는 동안 프레스는 모드 I 구성(순수 인장 모드)에서 크랙 개구부에 해당하는 하부 판(1cm 두께)에 낮고 일정한 속도 ~ 10µm.s-1의 일반 변위를 적용합니다. .
현미경에 장착된 고속 및 고해상도 카메라(Photron Ultima)를 통해 느린 균열 전면 전파를 추적할 수 있습니다. 이 카메라를 1024×512 픽셀의 공간 해상도와 1000f.p.s.의 획득 속도로 사용합니다. 우리는 ≃ 12초 동안 균열 선단을 추적할 수 있습니다(≃ 12000개 이미지 획득). 이 작업에서는 특히 평균 균열 선단 속도〈v〉 = 28.1µm/s, 픽셀 크기 a = 3.5µm로 주어진 실험에 중점을 둘 것입니다. 그건 중요해
4 S. SANTUCCI 외.
그림 2. 실험 설정 스케치: 두꺼운 PMMA 플레이트(PL)가 rigidframe(F)에 고정됩니다. 수직 변위는 원통형 로드가 있는 박판에 프레스(Pr)에 의해 부과됩니다. 현미경에 장착된 고속 및 고해상도 카메라(C)는 균열 전면전파를 따릅니다.
픽셀 크기가 샌드 블라스팅 공정에서 발생하는 18±2µm로 추정되는 이러한 국부적 이질성의 특성 규모보다 작다는 것을 알아차리십시오. 곧 나올 논문[20]에서는 실험 조건(평균 최전선 속도와 픽셀 크기를 모두 변화시키면서)을 변경하는 동안 이러한 모든 예비 결과가 안정적이라는 확장된 데이터 세트를 사용하여 제시할 것입니다.
3. 분석 절차 및 결과
3.1. 균열 전면의 스케일링 분석
그레이 레벨의 기울기를 계산하여 균열 선단을 추출하기 위해 이미지 분석을 수행합니다. 일반적인 결과는 그림 3에 나와 있습니다. 전면 위치는
엑스 (mm)
y(m
중)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0.6
0.4
0.2
그림 3. 평균 균열 선단 속도〈v〉 = 28.1µm.s−1로 실험하는 동안 고속 카메라(Photron Ultima)로 기록한 사진의 전형적인 예. 픽셀 크기는 3.5µm입니다. 이 실험 동안 카메라는 각 사진에 대해 1ms의 시간 지연으로 총 9000프레임을 기록했습니다. 균열 선단은 아래에서 위로 전파됩니다. 두꺼운 실선은 이미지 분석 후 추출된 균열이 없는 부분(검은색)과 균열이 있는 부분을 구분하는 인터페이스를 나타냅니다. 나중 시간(0.5, 1 및 2초)에 대해 3개의 파단 전면 위치를 중첩하여 균열 피닝 및 파열 활동을 제안합니다.
계면 균열 전면 전파 5
균열되지 않은 부분(검은색)과 균열된 부분 사이의 명암 경계면으로 정의되며 y = h(x, t)로 지정됩니다.
파동수 k의 함수로서 실험 중에 검출된 모든 균열 전면 위치(이 경우 9000개 전면)에 대해 평균화된 평균 전면 위치 h(x)-
0.001 0.01 0.1 110
2
103
104
105
106
107
나 / 나
P(k
)
그림 4. k0 = 2π/(3.5µm)인 감소된 웨이브 수 k/ko의 함수로서 평균 전면 위치 h(x) −
또한, 우리는 균열 거칠기의 발달이 거칠기 지수 ζ = 0.6 및 동적 지수 κ = 1.2 ± 0.2를 갖는 Family-Vicsek 스케일링 ansatz를 잘 따른다는 것을 확인합니다. h(x, t) = h(x, t) − hi 의 파워 스펙트럼을 고려하면, 여기서 hi = h(x, ti )는 초기 전선이고, Family-Vicsek 스케일링 ansatz는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
P(k,∆t) = ∆t(1+2ζ)/κG(k∆t1/κ) with G(x) ∝
{
b x≪ cx−(1+2ζ) x≫ c
여기서 ∆t = t − ti는 분석된 이미지 사이의 시간 지연이고, b와 c는 특성 상수입니다.
6 S. SANTUCCI 외.
10−3
10−2
10-1
100
102
103
104
105
106
107
나 / 나
P(k
,∆t)
∆t = 20ms
∆t = 5초
10−2
10-1
100
101
102
103
10−4
10−2
100
k/ko(∆t/∆t
오) 1/m
P(k
,∆t)
∆t-
(1+
2g)
/κ그림 5. 왼쪽: 대수적으로 증가하는 시간 지연에 대해 k0 = 2π/(3.5µm)인 감소된 파수 k/ko의 함수로서의 상대 위치 Δh(x, t)의 전력 스펙트럼Δt = t − ti, fromΔ t = 20ms에서 ∆t = 5s. 오른쪽: 스케일링 함수 G(k∆t1/κ) = P(k,∆t)∆t−(1+2ζ)/κ에 대한 데이터 축소, 조도 지수ζ = 0.54 및 동적 지수κ를 사용하여 동적 Family-Vicsek 스케일링 표시 = 1. 상대 위치 ∆h(x,∆t) = h(x, t) − h(x, ti)의 전력 스펙트럼은 4000개 이상의 초기 fronthi = h(x, ti)에 대해 평균화되었습니다. 파선은 눈의 안내선이며 기울기는 -2.1입니다. 수평축은 k0 = 2π/(3.5µm) 및 Δt0 = 1ms인 축소된 무차원 수량 k/k0, t/t0에 해당합니다. 세로축은 임의적입니다.
왼쪽의 그림 5에서 대수적으로 증가하는 시간 지연 ∆t에 대한 상대 위치 ∆h(x, t)의 전력 스펙트럼을 ∆t = 20ms에서 ∆t = 5s로, 4000개 이상의 다른 초기 전면(x , 티). 시간 지연Δt를 증가시키면 편평한 스펙트럼에서 크로스오버 동작을 관찰합니다. 이는 작은 시간 지연Δt에서 공간적 상관관계가 있음을 나타냅니다. 이전에 관찰된 상관 관계 P(k) ∝ k-(1+2ζ)와 거칠기 지수ζ = 0.54. 그런 다음 오른쪽의 그림 5에서 스케일링 함수 G(k∆t1/κ) = P(k,∆t)∆t−(1+2ζ)/κ
이전에 측정된 조도 지수 ζ = 0.54인 kΔt1/κ의 함수로. 동적 지수 κ = 1에 대해 만족스러운 데이터 붕괴가 얻어집니다. 다른 실험에 대해 동일한 절차를 수행하면 동적 지수 κ = 1.2 ± 0.2에 대해 다음과 같은 추정이 이루어집니다. 거칠기 지수 ζ = 0.6, 이전 실험 결과 [1]와 일치.
3.2. 대기 시간 매트릭스 W 및 로컬 전방 속도 매트릭스 V
느린 균열 전파 동안 국지적인 버스트 동역학을 연구하기 위해 대기 시간 행렬 W(x, t)를 계산했습니다. 대기 시간 행렬 W를 얻기 위해 디지털 사진(그림 3 참조)의 이미지 분석에서 추출한 파단 전선을 추가했습니다. 이 행렬은 원본 이미지의 차원과 초기 값이 0입니다. 행렬 elementw에 값 1을 더합니다.
계면 균열 전면 전파 7
감지된 최전선 위치의 각 픽셀에 해당합니다. 이 절차는 각 실험에 대한 최종 대기 시간 매트릭스 W를 얻기 위해 주어진 실험의 모든 프레임에 대해 수행되었습니다. 그런 다음 두 이미지 사이의 일반적인 시간 δt에서 픽셀 크기 a의 비율을 역 대기 시간 w의 행렬을 계산하여 인터페이스의 로컬 정상 속도 V(x, t)를 추론할 수 있습니다. 따라서 각 이미지의 크랙 라인에 해당하는 각 픽셀에 로컬 전면 속도 v = a를 연결할 수 있습니다.
wδt .
10−2
10-1
100
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10−4
10−3
10−2
10-1
100
101
V
피(
V
적합도 : P ∝ x2.6
그림 6. 평균 균열 속도 v〈v〉로 정규화된 국부 전방 속도 분포
평균 균열 선단 속도〈v〉 = 28.1µm/s로 실험합니다. 실선은 평균 균열 선단 속도
마지막으로, 모든 균열 전선 이미지의 모든 픽셀에서 측정된 각 대기 시간 또는 속도의 발생 횟수를 추정할 때 로컬 대기 시간 w 및 로컬 프런트 속도 v의 확률 분포 함수를 얻을 수 있습니다. 분포의 전형적인 예P( v
〈v〉 )는 평균 균열 선단 속도〈v〉 = 28.1µm/s로 실험을 위해 얻은 로컬 선단 속도 v의 로그-로그 스케일로 그림 6에 표시됩니다. 평균 균열 선단 속도
8 S. SANTUCCI 외.
3.3. 로컬 버스트 구조
로컬 버스트 활동을 분석하기 위해 속도 행렬 V를 고려하겠습니다. 행렬 요소 v를 v > C·〈v〉에 대해 1로 설정하고 다른 곳에서는 0으로 설정하여 V에서 클리핑된 속도 행렬을 생성할 수 있습니다. 우리는 그림 7에 스파-
엑스 (mm)
y(m
중)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0.6
0.4
0.2
그림 7. 클러스터 크기S의 공간 분포. 흰색 클러스터는 평균 균열 선단 속도
클립 레벨 C = 8에 대해 클립 매트릭스에서 얻은 다양한 크기 S의 클러스터 분포. 흰색 클러스터는 평균 전방 속도 v보다 8배 더 큰 속도에 해당합니다.
〈v〉 > C = 8, 이 실험을 위한 것임
〈v〉 = 28.1µm.s−1. 첫 번째와 마지막 전면에 연결되어 상하의 흰 부분에 속하는 군집은 분석에서 제외한다.
101
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103
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10−7
10−6
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10−4
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에스(μm2)
추신
)
원시 데이터 로그 비닝
적합도 : P ∝ x−1.7
그림 8. 평균 균열 선단 속도〈v〉 = 28.1µm.s−1 및 픽셀 크기a = 3.5µm인 실험에 대한 버스트 크기 S의 분포. 여기서 사용된 클립 레벨
〈v〉 > C = 8. 대수 비닝을 사용하면 넓은 범위의 이벤트 크기에 걸쳐 큰 통계의 기본이 되는 스케일링 법칙을 추출할 수 있습니다. 파선은 최적 적합 P(S) ∝ S−γ를 나타내며 지수γ = 1.7을 제공합니다.
계면 균열 전면 전파 9
그림 8에서 클러스터 크기 분포 P(S)는 이중 로그 스케일로 제공됩니다. 지수 γ = 1.7을 갖는 멱법칙 행동 P(S) ∝ S−γ를 명확하게 관찰하여 버스트 역학이 모든 길이 척도에서 발생함을 증명합니다. 우리는 이 중요한 동작, 특히 지수γ가 정말 안정적인지 확인했습니다. 평균 버스트 크기〈S〉로 정규화하면 다양한 실험 조건과 광범위한 클립 레벨 값에 해당하는 모든 다른 분포를 재조정할 수 있습니다(자세한 내용은 [20] 참조). 세부).
우리는 소규모의 버스트 구조와 더 큰 규모의 균열 최전선의 자기 아핀 스케일링 사이의 상관 관계를 기대합니다. 작은 규모의 공간적 스케일링을 자세히 조사하기 위해 각 클러스터에 대해 클러스터를 둘러싸는 가장 작은 경계 상자를 선택했습니다. 경계 상자의 크기는 성장 방향을 따라 클러스터의 길이 척도 Ly를 제공하고 평균 골절 전선 방향으로 클러스터의 길이 척도 Lx를 제공합니다.
100
101
102
103
100
101
102
⟨Lx⟩ (µm)
⟨라이⟩ (
㎛)
⟨V⟩ =28.1 µm/s ; =3.5µmL
y=L
엑스
Lx>20 µm에 적합: L
y ∝ 패
x0.60
Ld ~ 18µm
그림 9. 평균 길이 스케일〈Lx〉의 함수에서 평균 길이 스케일〈Ly〉. 파선은 Lx > 20 µm에 대한 데이터 포인트에 적합하며 파단 전면 선의 거칠기 지수와 일치하는 기울기 0.60을 갖습니다. 점선은 곡선 y = x를 나타내며 눈의 안내 역할을 합니다.
그림 9는 동일한 이전 실험(
10 S. SANTUCCI ET AL.
tem은 파단 전선 자체에 대한 국부 동역학 버스트에 대해 동일한 거칠기 지수ζ로 자기 친화 스케일링을 나타내며 이러한 계면 균열 실험에서 결정된 거칠기 지수를 새롭게 확인합니다. 대부분의 현재 이론적 및 수치적 연구는 이 거칠기 지수에 대해 더 낮은 값을 예측한다는 점에 유의하는 것이 중요합니다[8, 16, 17, 18].
4. 결론
우리는 느린 계면 균열 전면 전파에 대한 실험적 연구를 수행했습니다. 이 작업은 이전 실험 결과[1]를 확인합니다. 파괴 최전선 역학은 거칠기 지수ζ ≃ 0.6 및 동적 지수 κ ≃ 1.2를 사용하여 Family-Vicsek 스케일링으로 설명할 수 있습니다. 또한, 우리는 이 역학이 크기와 속도가 분포된 멱법칙인 국지적이고 불규칙한 눈사태에 의해 주도된다는 것을 관찰했습니다. 우리는 로컬 버스트의 역학 및 구조가 크랙 프런트 자체의 스케일링 및 역학에 중요한 역할을 하고 있음을 보여줍니다. 특히, 일반적인 크기 Ld ~ 20µm 이상에서 버스트 크기는 파괴 전면의 거칠기 지수 ζ ≃ 0.6과 일치하는 지수를 사용하여 파괴 전면에 평행하고 수직인 방향으로 다르게 확장됩니다. 그러나 이 결과를 장애와 관련된 유한한 크기 효과로 해석하는 것이 일관되게 보인다면 결정적이고 이 컷오프 길이 척도가 진정 장애에 실제로 해당함을 확인하기 위해 일반적인 장애 크기를 제어하고 변경하기 위해 더 많은 실험 작업이 필요합니다. 샌드 블라스팅 절차에 의해 도입된 상관 길이.
응력 가중 퍼콜레이션 문제로 해석된 최근 시뮬레이션[19]은 초기 수치 및 이론적 연구[8, 16, 17, 18]와 달리 측정된 실험적 조도 및 동적 지수와 일관된 결과를 제공합니다. 역학 및 특히 균열선의 국지적 폭발 활동을 조사했으며, 따라서 이러한 수치 연구를 개발하는 것이 매우 중요해 보입니다.
감사의 말
우리는 E.L을 인정합니다. 오슬로에 있는 Hinrichsen, M. Fleissner 및 SINTEF 연구소의 환대 덕분에 백색광 간섭계 측정을 수행할 수 있습니다. 또한 L. Vanel, O. Ramos, A. Hansen, E.G. 유익한 토론을 위한 Flekkøy, J.P.Vilotte. 이 작업은 CNRS/NFR PICS 프로그램과 NFR Petromax 및 SUP 프로그램의 지원을 받았습니다.
계면 균열 전면 전파 11
참조
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